UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT QUẾ SƠN
KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 6,7,8
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN – Lớp 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)


ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (2,5 điểm):
Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn: a + b + c = 0. Thực hiện:
Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Tính giá trị của biểu thức: A =

Giải phương trình: (5x +3)3 – (2x +4)3 = (3x – 1)3
Bài 2 (1,5 điểm):
Cho a, b là hai số dương. Chứng minh rằng :

Cho a, b là hai số dương có a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =

Bài 3 (2,0 điểm):
Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB = c, AC = b, BC = a. Các phân giác AD, BE và CF cắt nhau tại O.
Tính độ dài đoạn AE theo a, b, c.
Chứng minh rằng
ABC là tam giác vuông khi

Bài 4 (2,5 điểm):
Tam giác ABC có BA > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến của tam giác. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G và K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng :
M là trung điểm của đoạn thẳng BC.


Đường thẳng GE song song với đường thẳng BC
Bài 5 (1,5 điểm):
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. chứng minh rằng p2 – 1 chia hết cho 24.













HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (2,5 điểm):
a) - Ta có a + b + c = 0 => a + b = -c => (a + b)3 = (-c)3
=> a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = -c3
=> a3 + b3 + c3 = - 3ab(a + b) = -3ab(-c) = 3abc (đẳng thức đã được chứng minh)
- Ta có a + b + c = 0 => a = - b – c => a2 = b2 + 2bc + c2
=> a2 – b2 – c2 = 2bc
Tương tự: b2 – a2 – c2 = 2ac; c2 – a2 – b2 = 2ac
A =

=
=
=
(a3 + b3 + c3) =
.(3abc)=


b) Giải phương trình: (5x +3)3 – (2x +4)3 = (3x – 1)3
(5x +3)3 + (-2x - 4)3 + (-3x + 1)3 = 0
Đặt a = 5x + 3; b = -2x – 4 ; c = - 3x + 1
=> a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc = 0 =>
=>
=>

Vậy S = {
}

Bài 2 (1,5 điểm):
a) Cho a, b là hai số dương
Ta có



(a + b)2 ≥ 4ab

a2 + 2ab + b2 – 4ab ≥ 0
(a – b)2 ≥ 0 BĐT cuối đúng vậy BĐT dã cho đúng.
Cho a, b là hai số dương có a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
=
=

Áp dụng các BĐT
và

A ≥
= 4 + 2 = 6
Dấu ‘=’ xãy ra khi a = b =
 
Vậy minA = 6 khi a = b =

Bài 3 (2,0 điểm):
Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB = c, AC = b, BC = a. Các phân giác AD, BE và CF cắt nhau tại O.
Tính độ dài đoạn AE theo a, b, c.
Chứng minh rằng
ABC là tam giác vuông khi

a) Theo tính chất đường phân giác ta có:

=>

=> AE =


b) Tương tự AF =

Ta có:
*






*


















=>
=> (a+b+c)2 = 2(a + c)(a + b)
=> a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 2a2 + 2ab + 2ac + 2bc
=> b2 + c2 = a2
=> Tam giác ABC vuông tại A.
Vậy Tam giác ABC vuông tại A khi


Bài 4 (2,5 điểm):
Tam giác ABC có BA >