UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)




ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I


Bài 1: (1.5 điểm)
a. Thực hiện trục căn ở mẫu biểu thức A =

b. Thực hiện tính giá trị của biểu thức B =
với x =


Bài 2: (3.0 điểm)
Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a.

b.

c.


Bài 3:(3.5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC và điểm H thuộc cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NCH tại P (P ( H).
a. Chứng minh tứ giác AMPN nội tiếp trong một đường tròn.
b. Đường thẳng HP cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPN tại điểm thứ hai Q. Chứng minh AQ song song với BC.
c. Khi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, AH là đường cao của tam giác ABC. HP cắt MN tại I. Chứng minh I là trung điểm của MN.

Bài 4:(2.0 điểm)
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh:
a. p2 - 1 chia hết cho 6.
b. p4 - 1 chia hết cho 48.





UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán



HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I

Bài 1: (1.5 điểm)


0,50



0,25

Thay x vào ta được B =

0,25

- Nhân với lượng liên hợp:


0,25

Thực hiện nhân và rút gọn:



=

0,25

.
Bài 2: (3.0 điểm)

(
(

0,25

Được:
hoặc

0,25

Giải hệ:

0,25

Giải hệ:

0,25


(
(

0,25

(
( (
-1)2 = 0
0,25

(
-1=0. ( x2 - x - 1 = 0.
0,25

Giải phương trình được x
Điều kiện và đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm.
0,25


Có: x5 + y5 = (x+y)(x4 -x3y + x2y2 - xy3 + y4)
= (x+y)( x4 + y4 -xy(x2 +y2) +x2y2)
= (x+y)( (x2 + y2)2 - 2x2y2 - xy((x+y)2-2xy) + x2y2)
= (x+y)(((x +y)2 -2xy)2- 2x2y2 - xy((x+y)2-2xy) + x2y2)
0,25

Thay x + y = 1 được :
x5 + y5 = (1-2xy)2 -2x2y2 - xy(1-2xy) + x2y2
= 1 - 4xy + 4x2y2 - 2x2y2 - xy + 2x2y2 + x2y2
= 1 - 5xy + 5x2y2
0,25

Đặt t = xy ta được phương trình :
5t2 - 5t + 1 = 11 ( t2 - t - 2 = 0

Giải phương trình được : t1 = -1; t2 = 2
0,25

Giải các hệ:
và

được nghiệm :
 ;

0,25



Bài 4: (3.5 điểm)













- Tứ giác MBHP nội tiếp ( (MPH + (MBH = 1800
- Tứ giác NCHP nội tiếp ( (NPH + (NCH = 1800
- Cộng được (MPH +( NPH + (MBH + (NCH = 3600.
- Thay (MPH + (NPH = 3600 - (MPN và (MBH + (NCH = 1800 - (MAN vào được:
3600 - MPN + 1800 - A = 360
- ( (MPN + (MAN = 1800 ( tứ giác AMPN nội tiếp trong một đường tròn


0,50
0,25

0,25

- (MPH + (MBH = 1800 và (MPH + (MPQ = 1800 ( (MBH = (MPQ.
- (MPQ + (MAQ = 1800 nên (MBH + (MAQ =