SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO       ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
         TỈNH NINH BÌNH                                          NĂM HỌC 2014-2015
                                                                                            Môn:TOÁN
                                                                                   Ngày thi:04/03/2015
                                                      Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
                                                                            Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang        
     ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 (5 điểm)
Cho biểu thức A =
Với x không âm,khác 4.
a,Rút gọn A
b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x không âm,khác 4
c,Tìm x để A là số nguyên
Câu 2 (5 điểm)
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a,
b,

Câu 3 (2 điểm)
Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A=
Câu 4 (7 điểm)
            Cho đường tròn O, dây cung BC cố định.Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC.Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC;E,F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AAChứng minh rằng:
a, Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau
b, Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau
c, Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên cung nhỏ BC
Câu 5 (1 điểm)
        Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A,độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 1.
HẾT




HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 (5 điểm)
Cho biểu thức A =
Với x không âm,khác 4.
a,Rút gọn A
b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x không âm,khác 4
c,Tìm x để A là số nguyên
(Tự giải)
Câu 2 (5 điểm)
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a,
Đặt a = b = => a2 – b2 = 2x +10 => x+5 =
Thay vào phương trình ta được:
a + b = 2(a + b) – (a2 – b2) = 0 a+b)(2 – a + b) = 0
vì a + b > 0 nên 2 – (a – b) = 0 hay a – b = 2
Giải ta tìm được x = -1; x =
b,
Giải ra ta có hệ phương trình có 6 nghiệm là hoán vị của (1;2;3)
Câu 3 (2 điểm)
Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A =
A =
Ta có: 2(x + y)2 – xy ≥ 2(x + y)2 - x + y)2
x + y) dấu “=” xảy ra khi x = y
Tương tự: y + z) dấu “=” xảy ra khi y = z
z + x) dấu “=” xảy ra khi z = x
A
≥
(x + y + z) = 3

Vậy minA = 3
khi x = y = z = 1
Câu 4 (7 điểm)
            Cho đường tròn O, dây cung BC cố định. Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC.Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC; E,F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AAChứng minh rằng:
a, Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau
b, Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau
c, Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên cung nhỏ BC
a) Chứng minh:
HEF  ABC 
Tứ giác ABHE nội tiếp
=>ABH = HEF hay ABC = HEF
Tứ giác AHFC nội tiếp
=>ACH = AFH hay ACB = EFH
Vậy
HEF  ABC
b) Chứng minh: HE 
 AC 
Ta có: ABC = HEF mà ABC = AA/C (cùng chắn cung AC) nên HEF = AA/C => HE //A/C
Do A/C
AC nên HE
AC
c) Ta có: Tứ giác AHFC nội tiếp trong đt đk AC nên trung trực của HF đi qua trung điểm G của AC mà DG // AB nên DG đi qua